[摘 要]本文主要从宪法和数学的学科特点，宪法文本中数字具有的含义以及数学统计方法和公理化思想对宪法学研究方法的影响等角度，讨论了宪法和数学之间的关系，对于宪法学研究视角进行了探索，具有启发作用，为运用数学方法研究宪法学提供了新视野。

　[关键词]宪法；数学；频数；公理；科学化

　　马克思曾经说过：“任何一门学科只有充分利用了数学才能达到完美的境界”。笔者认为，这句话包含如下几层涵义：

　　1.明确了数学的功能作用，数学不单单是用来做计算的工具，也不是仅局限于经济学，工程学等理工类学科的研究领域之中，数学是可以被利用来探索和预见任何一门学科的方法，具有本体论和认识论的功能。数学和应用科学建立的这种有机结合，恰恰正是数学一次次突破自身局限进而源源不断发展的动力，而数学的发展对于应用科学的完善来说又发挥着重要作用，使学科的理论体系更加精确严密，更加具有说服力。

　　2.肯定了数学的价值作用，利用数学后之所以能够让一门学科变为科学，最重要的就是数学具有一种高度缜密严谨的抽象性的思维方式，数学是一门讲道理的学科，其本质就是用逻辑说话，这种逻辑的价值就在于数理逻辑可以将看似杂乱无章的碎片化知识变得系统有序，可以从纷繁复杂的问题中归纳出简单清晰的规律，可以让一系列模糊的现象浮现出问题的本质，所以，有了这样一种逻辑思维为基础，在抽象的共性问题和成千上万种个性中找到最佳平衡位置，探索研究问题的一般规律，学科的发展自然会变得有章可循，系统科学。

　　3.指明了学科发展的方向，任何一门学科的发展都会遇到瓶颈和受到局限，学科种类很多，选择什么学科进行交叉学科间的融合和发展，毫无疑问，马克思指出了数学是最佳选择，几乎所有理工科的发展和数学都是密不可分的，人文社会学科中，经济学就是运用数学最成功的典型代表，再比如哲学中数学建模的运用，例如用微积分理论模型来表达渐变，用概率论来解释偶然性的概念。英国哲学家怀特海认为：“最高的抽象思维是控制我们对具体事物的思想的真正武器”，表达出数学中的高度抽象思维对其他学科具有更多的指导作用。

　　在所有学科中，将数学不论是作为工具还是思维方式运用其中，都可以使该学科得到更完美的发展。基于以上理解，笔者对宪法和数学的关系进行了如下思考：

　　从学科特点上来看，数学是科学之母，可以理解为数学就是科学领域的“宪法”，离开了数学，任何自然学科都不可能得以存在和发展，数学是自然科学的最高准则，在整个法律体系中，和数学具有同样抽象性原则性逻辑性特征的就是宪法，宪法被称为“母法”，具有最高的法律权威和法律效力，是所有法律的最高准则，任何法律都不得与之相抵触，否则抵触即无效，可以看到，数学和宪法都是一定领域的最高准则，具有最高的地位，两者发挥着同样的规范指引作用，这是宪法和数学在灵魂深处天然的相似性和共通性。宪法规范着生活的方方面面，而生活的方方面面都与数学息息相关，数学追求科学的严谨和客观公正的真理与法治社会宪法的追求有着相似的生命历程。

　　在具体宪法文本中，设计到的大量数学数字，著名宪法学者莫纪宏教授在“我国现行宪法文本中的数字特征”一文中提出宪法文本中数字的三种类型：第一是年代或历史上重要的历史年份；第二是年龄或期限；第三就是部分和整体的比例数。宪法文本和数字的结合，对于宪法规范的确定性，客观性起到不可小觑的作用，我国现行宪法第六十条：“全国人民代表大会每届任期五年，…如果遇到不能进行选举的非常情况，由全国人民代表大会常务委员会以全体组成人员的三分之二以上的多数通过…”，宪法第六十四条：“宪法的修改，由全国人民代表大会常务委员会或者五分之一以上的全国人民代表大会代表提议，并由全国人民代表大会以全体代表的三分之二以上的多数通过” ，宪法规范中的这两个三分之二具有不同的含义，最重要的就在于其数字前的定语不同，前者为推迟选举的通过条件，人大常委会全体组成人员的三分之二，后者是宪法修正案的通过方式，是全国人大的全体代表的三分之二，既不是参会代表的三分之二，也不是投票代表的三分之二，这一数字规范充分说明了宪法修改的严肃性和神圣性。还有一个问题值得思考，为什么规定是三分之二？实际上这种表决制度起源于美国，1787年美国宪法第五条：“联邦议会在任何时候，如两院三分之二认为必要时，应提出宪法修正案”。二分之一是半数，三分之二则体现了多数人的原则和理念，国际社会和各国也都以三分之二这一数字来确定宪法理念中的“多数人”标准，数字的这一层宪法含义为今后宪法规范和法律实践中的“多数人”提供了衡量尺度。笔者认为，在宪法文本中，除了上述三类数字外，还存在第四种数字，暂且称之为宪法文本中名词出现的频数，出现数字频数高的名词就是宪法的核心概念，对宪法规范具有指导作用，例如：在我国现行宪法文本中，“国家”一词出现163次，“人民”一词出现368次，两者出现的次数就明朗地阐释了宪法是什么的命题，宪法就是国家和人民之间的契约，或者说宪法是调整国家与人民的关系的文件。（见表1）

表1

表2

表3

表4

　　我国现行宪法文本中，“人”出现462次，包含不同种表述（见表2），关于“人”一词的不同表达体现出了宪法规范的不同价值保护，更加明确了宪法上的“人”这一概念内涵。 笔者通过对宪法文本名词的出现频率分析，发现在我国现行宪法文本中，出现频次比较高且权重比较大的前三个名词分别是：“中华人民共和国”，“全国人民代表大会”，“人民”（见表3），而这三个高频词恰恰是我国宪法的突出特点，体现了我国宪法是人民的宪法，人民代表大会制度更是我国的根本政治制度，是我国民主生活中最具有特色的制度，是人民当家作主的有效途径。宪法中名词的出现频率次数和权重的多少，是一个宪法价值最直接客观的体现，通过利用数学统计方法进行研究，可以为宪法的研究提供一种全新的研究思路。我国75年的宪法主要是在文革时期制定的，是一部有缺陷的宪法，分析75年宪法会发现，出现频率最高的三个词分别为：社会主义，革命，无产积极（见表4），其次还有一些诸如中国共产党，帝国主义，专政等一系列体现当时以阶级斗争为中心的社会形态和“左”的思潮的名词。通过利用数学研究方法分析宪法文本中的数据，可以科学有效的表达和解释一国宪法的特点，增加理论的说服力，而且可以直观的进行比较从而得到不同政治制度下宪法的本质区别。笔者分别对《钦定宪法大纲》，《中华民国临时约法》，《中华民国约法》，1954年《中华人民共和国宪法》，《美利坚合众国宪法》5个宪法文本进行了高频词统计（见表5），按照宪法文本中出现的词的次数多少排序：

表5

　　通过表5，我们可以很清楚地得到如下结论：

　　A． 清末制定的具有宪法性质的《钦定宪法大纲》，体现了“大权统于朝廷”的理念，钦定，命令等词语高频率的出现，体现了“皇帝专权，人民无权”的本质，实则是为君主专制披上了“宪法”的外衣。

　　B． 辛亥革命后期由临时参议院制定的《中华民国临时约法》，该宪法的一个重要作用就是要约束担任临时大总统的袁世凯，扩大了参议院的权力，高频词直观有力的传达出该部宪法的精神。

　　C． 北洋政府时期，由袁世凯一手炮制的《中华民国约法》，实行上总统独裁个人专制，取消了国会制，设立了立法院，从《临时约法》到《中华民国约法》文本中高频词的变化，就可以直观地感受到宪法背后隐含的国家政治力量对比以及社会形态的变化。

　　D． 新中国成立后1954年制定的《中华人民共和国宪法》，人民、公民等词的出现频率极高，有力地说明了这是一部真正体现人民民主原则的宪法，相比其他时期的宪法，这是一部真正属于人民的宪法，其背后体现的是政治国家的价值追求和新中国“以人民为中心”的建国和发展观念。

　　E． 通过《美利坚合众国宪法》高频词分析，清晰表达了美国政治体制的分权和制衡思想，宪法的作用主要体现在用来设计宪政制度，与我国宪法中出现的高频词作对比，可以看出资本主义和社会主义国家的区别；将其与《中华民国临时约法》可以发现有很多词出现频率相当，也从侧面说明了临时约法是资产阶级性质的宪法。

　　如果说数学方法为宪法研究打开了新视野，那么数学理论和宪法学科的关系就是更近一步的灵魂关系。毛泽东主席曾讲过“搞宪法就是搞科学”的论断，数学作为研究一切科学的重要工具和思维方式，自然能够为宪法的研究提供全新的途径。数学是将具体内容经过抽象之后研究其内在规律的学科，研究对象是抽象的数，而非现实中的物质实体，宪法的研究同样具有抽象性，宪法的研究对象往往是看不见，摸不着，闻不到的抽象的社会现象，简单的0，1经过不断累加得到自然数，数字通过加减乘除等运算法则搭建起数学学科的基本计算框架，正像权利和义务两组概念一样搭建起了宪法的基本规范和价值。从数学原理来看，民主实际上是在追求公共意志的“积分”，也就是说是公意“求和”；人权实质上要求公共利益的“微分”，即通过具体的人权来实现公共利益的“最小化”或“细分”。 现代数学中的“微积分”思想完全可以在宪法的基础价值中得到体现和应用，只是目前理论上还没有将数“理”对法“理”的影响系统化和科学化。因此，要进一步完善宪法学的理论研究体系，将数“理”引入法“理”，可以从根本上提升宪法学的“科学性”，实现宪法学知识量和质的双重特性的有机统一。所谓的宪法和法律的特征不外乎是研究者对事物属性认识的“可能性”程度，没有摆脱数理逻辑的分析框架。 莫纪宏教授一针见血地指出有必要在研究宪法哲学的时候，引入数学机制，重新构造科学和系统的宪法学知识体系。

　　宪法和法律是不同位阶的，法律可能出现违反宪法的现象，一切法律违宪都是无效的，现行宪法当然是具有法的特征的，那么，宪法本身一定不会出现违宪的情况么？或者说，宪法是绝对正确的么？法国大革命时期的西耶斯提出制宪权的概念，赋予其“始原性权力”和“合法性来源”的特性，认为宪法是国民共同意志的体现，因而一国宪法存在民意基础，宪法本身就是合乎法理的。笔者从数学的角度进行了如下思考：公理，百度百科定义是依据人类理性和愿望发展起来而被共同遵从的道理，多个公理及其推导出的定理的集合称之为公理系统，在一个演绎体系中，一个定理的证明需要通过先前证明过的命题的逻辑结果，而这些逻辑结果的证明又需要利用另一些已经证明的命题，这样往复不断推论，可以很清楚地知道这是一个无限不可能完成事件，但是，一旦把某一个命题确定下来，这些被确定的命题就称之为公理，当然要默认这些命题的正确性，公理必须简单直观，不证自明，这些少量的公理就作为其他命题推导的先决条件加以运用。例如：两点确定一条直线就是一个公理，我们可以认为宪法文本中序言的第一句：“中国是世界上历史最悠久的国家之一”这样的事实性描述就是一句公理；宪法第三十三条：“中华人民共和国公民在法律面前一律平等”这一原则性的规定就是典型的公理，通过公理进行推导得到的命题称之为定理，在法律系统中，自由，平等，公正，法治等原则以及人权理论可以被认为是公理，基于这些原则制定出的宪法规范视其为由此推导出的定理，而其民享有宪他法律则是宪法的具体化，是依据宪法中的公理或者定理制定出来的。例如，宪法规定：“任何公法和法律规定的权利，同时必须履行宪法和法律规定的义务”将其视为公理，宪法第五十六条：“中华人民共和国有依照法律纳税的义务”可以将其理解为一个由此而推导出的定理条款，而根据该定理，可以推导出《中华人民共和国税法》，同样可以理解为是一个定理推论。在演绎系统中，数学定理由公理推导而得，不存在与公理相反的定理，那么，会不会出现某个定理违反了公理系统？答案是肯定的，当开始假设定理并得到一些推论时，如果出现了违背公理系统的推论，可以判断前提定理是错误的，类似于某一法律行为违宪，可以考察该行为的法律依据，进而判断该法律是否违宪。那么公理系统本身是对的么？公理系统是一个事先默认正确的系统，不同的公理组成不同的系统，自然推出的定理也是不一样的，比如欧几里得几何和非欧几里得几何公理就是不同的。一个法律原则不同时代背景下有着不同的含义，在1787年《美国宪法》中规定的“天赋人权”，毫无疑问可视其为公理，而这里的“人”是不包括奴隶人的，奴隶自然不享有财产权等人权，经过美国内战之后，“天赋人权”这一公理发生了变化，进而扩大了诸多权利保障的范围。法律体系中，可以将该公理系统理解为公民意志的统一表达，即全体公民基本价值原则的共同诉求，数学和法律都有“绝对规则”，而要想进行一系列活动的展开，首先就要假定“绝对规则”的正确性，宪法中的“绝对规则”就是自由，民主，法治，人权等价值，法律中的这个“绝对规则”就是体现全体公民意志的宪法。宪法的研究需要运用公理化的数学逻辑思维，宪法的研究不能仅仅局限于静态的规范，而应该关注动态的逻辑推理，不断提高宪法规范的科学性，规范间的逻辑统一性，减少宪法规范本身带来的矛盾和冲突。

　　数学建模的科学结论同样启发着宪法观念的一些认识，数学家阿罗通过群体决策模型的演算，得出结论认为：根本不存在一种能保证效率，尊重个人意向，并且不依赖程序的多数规则的投票方案或者说不可能通过一定的程序准确地表达社会全体成员的个人意向来达到合意的公共决策。这个结论让我们理智地认识到民主的缺陷以及所谓的“多数人即真理”是不存在的，一味地寻找完美的民主其实就是逻辑上的自相矛盾，而且还揭示了一个震撼的结果：社会里，完全的每个个人的自由会导致独裁；完全的自由经济会导致垄断，这无疑是一个颠覆性的结论，对于宪法规范的制定以及法治社会建设具有高度的启发。2008年初的美国数学年会一个关于选举中的数学问题的报告结论显示：在竞选者实力相当的时候，选举结果只是对选举规则的反映，而不一定是对选民意见的反映。有人甚至认为，美国的总统选举就像一场数学竞赛，选举的规则至关重要，也揭示了西方国家披着“民主”外衣的资本主义嘴脸，数学建模在选举领域的探索和研究无疑为宪法制度的更加科学化提供了有效的启发。在基本权利保障方面，也可以借助数学思维的分析框架，宪法最重要的一个功能就是要保障人权，但如何保障人权，仅仅停留在价值层面，缺乏有效的手段和方法，为了增加基本权利保障的确定性与预测性，运用数学定量分析法，运用数学思维建构一个操作可行的技术方案势在必行，可以有效避免现存“主观性过大、确定性不够” 的致命缺陷。

　　文有尽而知无涯，宪法和数学的关系远远不止这些，数学统计分析手段的大数据技术可以运用于宪法之中进而增强宪法理论的说服力，数学公理化的逻辑思维模式对于宪法规范体系的构建具有重要作用，笔者认为，数理分析方法完全可以引入宪法研究领域，只有宪法规范更加科学合理，宪法实践才能有效进行，宪法科学化的进程需要宪法学界和数学界的共同合作努力，当然，也会促进数学学科的发展。

　[参考文献]

　　[1] 莫纪宏.我国现行宪法文本中的数字特征，中国法学网，2012.01.31.

　　[2] 许崇德主编. 中华法学大辞典 宪法学卷[M]. 北京：中国检察出版社, 1995.03.

　　[3] 李西尧.从数学公理到法律原则[J].数学学习与研究,2017(04):157-158.

　　[4] 莫纪宏.数“理”与法“理”[J].法制资讯,2012(Z1):11-12.

　　[5] 姜启源,吴孟达.民主选举中的数学与公正性[J].数学建模及其应用,2015,4(01):11-22.